કણોના તંત્રની ગતિનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ગતિમાં વિભાજન :
$(a)$ બતાવો કે $p = p_i^{\prime} + {m_i}V$
જ્યાં ${p_i}$ એ $i$ મા કણ ( ${m_i}$ દળના)નું વેગમાન અને $p_i^{\prime} = {m_i}v_i^{\prime} $
નોંધ $v_i^{\prime} $ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે $i$ મા કણનો વેગ છે.
આ ઉપરાંત દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $\sum {p_i^{\prime} } = 0$
$(b)$ બતાવો કે $K=K^{\prime}+1 / 2 M V^{2}$
જ્યાં $K$ એ કણોના તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા છે. $K'$ એ જ્યારે કણોના વેગોને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંદર્ભમાં લેવામાં આવે છે ત્યારની અને $M V^{2} / 2$ એ સમગ્ર તંત્રની સ્થાનાંતરણની ગતિ ઊર્જા છે. (એટલે કે તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ). આ પરિણામ પરિચ્છેદ માં ઉપયોગમાં લીધેલ છે.
$(c)$ દર્શાવો કે $L = L ^{\prime}+ R \times M V$ છે.
જ્યાં $L ^{\prime}=\sum r _{i}^{\prime} \times p _{i}^{\prime}$ એ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે તંત્રનું કોણીય વેગમાન છે. જ્યાં વેગોને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે લીધેલ છે. યાદ રાખો $r _{i}^{\prime}= r _{i}- R$; બાકીની બધી સંજ્ઞાઓ એ પ્રકરણમાં ઉપયોગમાં લેવાયેલ પ્રમાણભૂત સંજ્ઞાઓ છે. નોંધો $L'$ અને $M R \times V$ એ અનુક્રમે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને તંત્રનું કોણીય વેગમાન અને કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું કોણીય વેગમાન કહેવામાં આવે છે.
$(d)$ બતાવો કે : = $\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\sum r _{i}^{\prime} \times \frac{d p ^{\prime}}{d t}$
વધુમાં, દર્શાવો કે $\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\tau_{e x t}^{\prime}$
જ્યાં $\tau_{c t t}^{\prime}$ એ આ તંત્ર પર દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને લાગતા તમામ બાહ્ય ટૉર્કનો સરવાળો છે. (સૂચના : દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા અને ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરો. એમ ધારો કે કોઈ પણ બે કણો વચ્ચે લાગતું આંતરિક બળ આ બે કણોને જોડતી રેખાની દિશામાં લાગે છે.)
$(a)$Take a system of $i$ moving particles.
Mass of the $i^{th}$ particle $=m_{i}$
Velocity of the $i^{\text {th}}$ particle $= v _{i}$
Hence, momentum of the $i^{\text {th}}$ particle, $p _{i}=m_{i} v _{i}$
Velocity of the centre of mass $= V$
The velocity of the $i^{\text {th }}$ particle with respect to the centre of mass of the system is given
as: $v ^{\prime}_{i}= v _{i}- V \ldots(1)$
Multiplying $m_{i}$ throughout equation $(1)$, we get:
$m_{i} v ^{\prime}_{i}=m_{i} v _{i}-m_{i} V$
$p ^{\prime}_{i}= p _{i}-m_{i} V$
Where,
$p _{i}^{\prime}=m_{i} v _{i}^{\prime}=$ Momentum of the $i^{\text {th }}$ particle with respect to the centre of mass of the
system $: p _{i}= p ^{\prime} i+m_{i} V$
We have the relation: $p ^{\prime} i=m_{i} v _{i}$
Taking the summation of momentum of all the particles with respect to the centre of mass of the system, we get:
$\sum_{i} p _{i}^{\prime}=\sum_{i} m_{i} v _{i}^{\prime}=\sum_{i} m_{i} \frac{d r _{i}^{\prime}}{d t}$
Where,
$r ^{\prime}=$ Position vector of $i$ th particle with respect to the centre of mass $v _{t}^{\prime}=\frac{d r ^{\prime}}{d t}$
As per the definition of the centre of mass, we have:
$\sum m_{i} r _{i}^{\prime}=0$
$\therefore \sum \limits _{i} m_{i} \frac{d r ^{\prime}}{d t}=0$
$\sum \limits _{i} p _{i}^{\prime}=0$
We have the relation for velocity of the $i^{\text {th }}$ particle as:
$v _{i}= v ^{\prime} i+ V$
$\sum_{i} m_{i} v _{i}=\sum_{i} m_{i} v _{i}^{\prime}+\sum_{i} m_{i} V$
Taking the dot product of equation (2) with itself, we get:
$\sum_{i} m_{i} v _{i}, \sum_{i} m_{i} v _{i}=\sum_{i} m_{i}\left( v _{i}^{\prime}+ v \right) \cdot \sum_{i} m_{i}\left( v _{i}^{\prime}+ v \right)$
$M^{2} \sum_{i} v_{i}^{2}=M^{2} \sum_{i} v_{i}^{2}+M^{2} \sum_{i} v _{i} v _{i}^{\prime}+M^{2} \sum_{i} v _{i}^{\prime} v _{i}+M^{2} V^{2}$
Here, for the centre of mass of the system of particles,
$\sum\limits_{i} v _{i} v ^{\prime}_i=-\sum\limits_{i} v _{i}^{\prime} v _{i}$
$M^{2} \sum_{i} v_{i}^{2}=M^{2} \sum_{i} v_{i}^{2}+M^{2} V^{2}$
$\frac{1}{2} M \sum_{i} v_{i}^{2}=\frac{1}{2} M \sum_{i} v_{i}^{\prime 2}+\frac{1}{2} M V^{2}$
$K=K^{\prime}+\frac{1}{2} M V^{2}$
Where,
$K= \frac{1}{2} M \sum_{i} v_{i}^{2}=$ Total kinetic energy of the system of particles
$K= \frac{1}{2} M \sum_{i} v_{i}^{\prime \prime 2}=$ Total kinetic energy of the system of particles with respect to the centre of mass
$\frac{1}{2} M V^{2}$
- Kinetic energy of the translation of the system as a whole
Position vector of the $i^{\text {th }}$ particle with respect to origin $= r _{i}$
Position vector of the $i$ "particle with respect to the centre of mass $= r ^{\prime} i$
Position vector of the centre of mass with respect to the origin $= R$
It is given that: $r ^{\prime} i= r i$
$- R r _{i}= r _{i}+ R$ We
have from part (a), pi
$= p ^{\prime} i+m i V$
Taking the cross product of this relation by $r _{i},$ we get:
$\sum_{i} r _{i} \times p _{i}=\sum_{i} r _{i} \times p _{i}^{\prime}+\sum_{i} r _{i} \times m_{i} V$
$L =\sum\left( r _{i}^{\prime}+ R \right) \times p _{i}^{\prime}+\sum\left( r _{i}^{\prime}+ R \right) \times m_{i} V$
$=\sum_{i} r _{i}^{\prime} \times p _{i}^{\prime}+\sum_{i} R \times p _{i}^{\prime}+\sum_{i} r _{i}^{\prime} \times m_{i} V +\sum_{i} R \times m_{i} V$
$= L ^{\prime}+\sum_{i} R \times p _{i}^{\prime}+\sum_{i} r _{i}^{\prime} \times m_{i} V +\sum_{i} R \times m_{i} V$
Where,
$R \times \sum_{i} p _{i}^{\prime}=0$ and
$\left(\sum_{i} r _{i}^{\prime}\right) \times M V = 0$
$\sum_{t} m_{i}=M$
$\therefore L = L ^{\prime}+R \times M V$
We have the relation:
$L ^{\prime}=\sum r ^{\prime}, \times p ^{\prime}$
$\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\sum r ^{\prime} \times p ^{\prime}\right)$
$=\frac{d}{d t}\left(\sum_{t} r _{t}^{\prime}\right) \times p _{i}^{\prime}+\sum_{t} r _{t}^{\prime} \times \frac{d}{d t}\left( p _{i}^{\prime}\right)$
$=\frac{d}{d t}\left(\sum_{i} m_{i} r _{i}^{\prime}\right) \times v _{i}^{\prime}+\sum_{i} r _{i}^{\prime} \times \frac{d}{d t}\left( p _{i}^{\prime}\right)$
Where, $r ^{\prime}$, is the position vector with respect to the centre of mass of the system of particles. $\therefore \sum m_{i} r _{i}^{\prime}=0$
$\therefore \frac{d L ^{\prime}}{d t}=\sum_{t} r _{t}^{\prime} \times \frac{d}{d t}\left( p _{i}^{\prime}\right)$
We have the relation:
$\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\sum_{i} r ^{\prime}, \times \frac{d}{d t}\left( p _{i}^{\prime}\right)$
$=\sum_{i} r ^{\prime}, \times m_{i} \frac{d}{d t}\left( v ^{\prime}\right)$
Where, $\frac{d}{d t}\left( v ^{\prime}\right)$ is the rate of change of velocity of the $i$ th particle
with respect ot the centre of mass of the system
Therefore, according to Newton's third law of motion, we can write:
$m_{i} \frac{d}{d t}\left( v _{i}^{\prime}\right)=$ Extrenal force acting on the $i$ th particle $=\sum_{i}\left(\tau_{i}^{\prime}\right)$
i.e., $\sum_{i} r ^{\prime}, \times m_{i} \frac{d}{d t}\left( v _{i}^{\prime}\right)=\tau_{ ea }^{\prime}=$ External torque acting on the system as a whole
$\therefore \frac{d L ^{\prime}}{d t}=\tau^{\prime}_{ext }$
એક $M$ દળના ફુગ્ગા સાથે એક હળવી દોરી છે અને $m$ દળનો વાંદરો હવાના મધ્ય સ્થાને સ્થિર સ્થિતિએ છે. જો વાંદરો દોરી પકડીને ચઢે અને દોરીના મહત્તમ સ્થાને પહોંચે છે. ઉત્તરાણ કરતા ફુગ્ગા દ્વારા કપાયેલ અંતર કેટલું હશે ? (દોરીની કુલે લંબાઈ $L$ છે)
$m$ દળ ધરાવતો એક પદાર્થ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધગોળાકાર સપાટી વાળી દીવાલ પર સરકે છે. તો સપાટીની નીચેના બિંદુએ તેનો વેગ કેટલો થાય?
$200\; kg$ દળની એક લારી ઘર્ષણરહિત પટ્ટા પર 36 km/hની સમાન (એક ધારી) ઝડપે ગતિ કરે છે. $20\; kg$ દળનો એક બાળક લારી પર તેના એક છેડાથી બીજા છેડા સુધી ( $10$ મીટર સુધી) લારીની સાપેક્ષે તેની વિરુદ્ધ દિશામાં $4 \;m s ^{-1}$ ની ઝડપથી દોડે છે અને લારી પરથી બહાર કૂદકો મારે છે. લારીની અંતિમ ઝડપ કેટલી છે ? છોકરો દોડવાનું શરૂ કરે તે સમયથી લારી કેટલે સુધી ગઈ હશે ?
$10\, kg$ નો દડો $10 \sqrt{3} m / s$નાં વેગથી $x-$અક્ષ પર ગતિ કરે છે.તે સ્થિર રહેલા $20\, kg$ના દડાને અથડાતાં તે સ્થિર થાય છે,$20\, kg$નાં દડાના બે ટુકડા થાય છે.એક $10\, kg$નાં ટુકડા $y-$ અક્ષ પર $10$ $m / s$નાં વેગથી ગતિ કરે છે.બીજો $10\, kg$નો ટુકડો $x-$અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નાં ખૂણે $x\, m / s$નાં વેગથી ગતિ કરે છે , તો $x=......$
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમને મૂળભૂત અને સાર્વત્રિક શાથી કહે છે ?